Teorema do virial

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Em mecânica, o virial G de um conjunto de N partículas é definido como:

onde e são o vetor posição e o vetor momento , respectivamente, da ka partícula. A expressão "virial" deriva do Latin, vis,viris, palavra para "força" ou "energia" e foi cunhada por Rudolf Clausius (1822-1888) em 1870. Em muitos casos de interesse físico, o virial é aproximadamente constante, de onde o teorema do virial pode ser derivado

onde representa a média da energia cinética total e representa a força atuando sobre a k-ésima partícula.

Em particular, se as forças entre as partículas resultam de uma energia potencial V(r) que é alguma potência n da distância entre partículas, r, o teorema do virial assume uma forma simples:

Em outras palavras, duas vezes a energia cinética total, T, é igual a n vêzes a energia potencial total, U.

Uma consequência do teorema do virial é que ele permite que a energia cinética total seja calculada mesmo para sistemas complicados que não têm uma solução exata, tais como aqueles considerados em mecânica estatística. Por exemplo, o teorema do virial pode ser usado para derivar o teorema de equipartição ou para calcular o limite de Chandrasekhar para a estabilidade de estrelas anãs brancas.

Índice

1 A derivada temporal e sua média
2 O teorema do virial
3 Relação com a energia potencial
4 Aplicação a forças que seguem uma lei da potência
5 Inclusão de campos eletromagnéticos
6 Referências
7 Leitura adicional

[editar] A derivada temporal e sua média

A derivada temporal do virial pode ser escrita como

ou, de modo mais simples,

Aqui, mk é a massas da k-ésima partícula, é a força líquida atuando sobre a partícula e T é a energia cinética total do sistema.

A média desta derivada no intervalo de tempo τ é definida como:

da qual podemos obter a equação exata

[editar] O teorema do virial

O teorema do virial estabelece que, se , então

Existem muitas razões pelas quais a média das derivadas temporais podem se anular, isto é,

.

Uma razão frequentemente citada se aplica à sistemas ligados, i.e., sistemas em que as partículas permanecem sempre juntas. Nesse caso, o virial Gbound está normalmente entre dois valores extremos, Gmin e Gmax, e a média vai a zero para o limite de tempos muitos longos τ

Mesmo se a média da derivada temporal é somente aproximadamente zero, o teorema do virial continua valendo, com a mesma ordem de aproximação.

[editar] Relação com a energia potencial

A força total atuando sobre a partícula k é a soma de todas as forças exercidas pelas outras partículas do sistema, j

onde, é a força aplicada pela partícula j na partícula k. Portanto, o termo de força da derivada temporal do virial pode ser escrito como

Como nenhuma partícula atua sobre sí mesma (i.e., , sempre que j = k), temos que

onde assumimos que a terceira lei de Newton pde ser aplicada, i.e., (reações iguais e opostas).

É comum acontecer que as forças possam ser derivadas da energia potencial V que é uma função somente da distância, rjk, entre as partículas j e k. Como força é o gradiente da energia potencial, temos, neste caso

a qual é igual e oposta a , a força aplicada pela partícula k sobre a partícula j, como pode ser confirmado por cálculos explícitos. Portanto, o termo de força da derivada temporal do virial é

[editar] Aplicação a forças que seguem uma lei da potência

É comum acontecer que a energia potencial V é uma função do tipo lei de potência

onde o coeficiente α e o expoente n são constantes. Em tais casos, o termo de força da derivada temporal do virial é dado pela equação

onde U é a energia potencial total do sistema

Em tais casos, quando a média da derivada temporal do virial, é zero, a equação geral torna-se

Um exemplo muito citado é a força de atração gravitacional, para a qual n = − 1. Neste caso, a energia cinética média é metade da energia potencial média, negativa

Este resultado é notavelmente útil para sistemas gravitantes complexos, tais como o sistema solar ou galáxias, e também para sistemas eletrostáticos, para os quais n = − 1, também.

A pesar de ter sido derivado para a mecânica clássica, o teorema do virial também vale para a mecânica quântica.

[editar] Inclusão de campos eletromagnéticos

O teorema do virial pode ser expandido para incluir o campo magnético e o campo elétrico. O resultado é[1]

onde I é o momentum de inércia, G é o vetor Poynting, T é a energia cinética do "fluido", U é a energia térmica (aleatória ou cinética) das partículas, WE e WM são as energias dos campos elétrico e magnético contidas no volume considerado. Finalmente, pik é o tensor pressão de fluido expresso no sistema de coordenadas móvel local

,

e Tik é o tensor de stress eletromagnético,

Um plasmóide é uma configuração finita de campos magnéticos e plasma. Com o teorema do virial é fácil ver que qualquer configuração que seja, se expandirá se não for contida por forças externas. Em uma configuração finita sem paredes de pressão-rolamento ou bobinas magnéticas, a integral de superfície será nula. Como todos os outros termos do lado direito são positivos, a aceleração do momentum de inércia também será positiva. Também é fácil de estimar o tempo de expansão τ. Se a massa total M está confinada dentro de um raio R, então o momentum de inércia é aproximadamente MR2, e o lado esquerdo do teorema do virial é MR 2/τ2. Os termos no lado direito somam até cerca de pR3, onde p é o maior entre a pressão de plassma e a pressão magnética. Equacionando esses dois termos e resolvendo para τ, encontramos

onde cs é a velocidade da onda acústica de íons (ou onda de Alfven), se a pressão magnética é maior que a pressão de plasma). Logo, a meia-vida esperada para um plasmóide é da ordem do tempo de trânsio acústico (ou de Alfven).

[editar] Referências

↑ George Schmidt, Physics of High Temperature Plasmas (Second edition), Academic Press (1979), p.72

[editar] Leitura adicional

Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9

Obtido em "http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_do_virial"

Categoria: Mecânica clássica

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